Вариант-12 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 13x^{2} + 22x = 0 \},$

$B = \{ 3, 6, 18, 19 \}, \quad C = \{ 1, 3, 5, 17 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $C \times (A \cap B) = (C \times A) \cap (C \times B)$ для множеств: $A = \{3, 6\}$ , $B = \{4, 6\}$ , $C = \{3, 4\}$ .

Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{s, h, j, n\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4, 5\};$

$G = \{(s, 5), (h, 5), (j, 3), (j, 2), (n, 4)\}; \quad A = \{j, n\}; \quad B = \{1, 3\}.$

Дано множество геометрических фигур. Исследовать отношение «иметь равную площадь» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \leftrightarrow \overline{y} \right) \rightarrow \left( z \land \overline{x} \right) \right) \land \left( \left( y \oplus \overline{z} \right) \vee \left( \overline{x} \rightarrow y \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\left( (p \vee q) \rightarrow r \right) \land (s \leftrightarrow t)$ и $\left( \overline{p} \land \overline{q} \vee r \right) \land \left( (s \land t) \vee \left( \overline{s} \land \overline{t} \right) \right).$

Приведите выражение $\left( x \land \overline{y} \right) \oplus \left( \overline{z \rightarrow x} \right) \land y$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В агентстве недвижимости 7 агентов и 5 юристов. Для работы над крупным проектом нужно выбрать 4 сотрудника для следующих задач: переговоры с клиентом, оформление документов, юридическая экспертиза и маркетинговый анализ. Сколько существует способов распределения задач, если:

а) все задачи выполняют агенты;

б) три агента и один юрист;

в) один агент и три юриста;

г) все задачи выполняют юристы;

д) все задачи выполняют сотрудники одной специализации.