Вариант-17 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 18x^{2} + 32x = 0 \},$

$B = \{ 4, 7, 8, 16 \}, \quad C = \{ 1, 8, 14, 15, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ для множеств: $A = \{1, 5\}$ , $B = \{2, 5\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{d, c, k\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(d, 4), (c, 1), (k, 1)\}$ ; $A = \{d, k\}$ ; $B = \{1, 2\}$ .
Дано множество студентов учебной группы. Исследовать отношение «быть одного возраста» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \land \left( y \rightarrow (z \vee x) \right) \right) \oplus \left( \left( \overline{y} \land \overline{z} \right) \rightarrow (x \leftrightarrow z) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \land q) \downarrow (r \rightarrow s)$ и $\overline{(p \land q)} \land \overline{\left( \overline{r} \vee s \right)}$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \oplus (y \leftrightarrow z)} \right) \land \left( x \downarrow \overline{z} \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На кулинарном конкурсе 7 шеф-поваров и 6 кондитеров. Нужно выбрать 4 участника для мастер-класса. Сколько способов выбора, если: а) все участники — шеф-повара; б) два шеф-повара и два кондитера; в) хотя бы один кондитер; г) ровно 3 шеф-повара.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 2}^{y + 1}:C_{x + 1}^{y}:C_{x}^{y - 1} = 14:7:3$